(準)凹関数の証明方法

数学

とある関数が凹関数(準凹関数)かどうか証明したいときに参考にして欲しい
まずは結論から

結論

ヘッセ行列を作り、①左上と②右下（diagonal elements)が0以下であること、③行列式(determinant)が0であることを示せば良い

例題： u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) = \ln \left( x _ { 1 } \right) + x _ { 2 }は準凹関数であるか？

式：ヘッセ行列は

 \displaystyle \mathbf{H} = \begin{bmatrix}
\frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } & \frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 2 } } \\\ 
\frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 2 } } & \frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } 
\end{bmatrix}

で求められる。

左上成分
\frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } = -\frac{1}{x^{2}} \leq 0 \cdots ①

右上、左下成分
\frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 2 } } = 0

右下成分
\frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } = 0 \leq 0 \cdots ②

ここで、

 \mathbf{A} = \begin{bmatrix}
a & b \\\ 
c & d  \end{bmatrix}のとき、 \det{\mathbf{H}} = ad - bc

より、


\begin{aligned}
\det{\mathbf{H}} = &\frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \times \frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } \\\
&-  \frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 2 } } \times \frac { \partial ^ { 2 } u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 2 } } \\\
= & 0 \cdots ③\\\
\end{aligned}

①、②、③より u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right)は凹関数である。 （※準凹関数であることを証明したい場合は、「全ての凹関数は準凹関数なので、 u \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right)は準凹関数である」の一文を最期に追加）